Surge un nuevo método para contar números primos.
Para avanzar en una de las cuestiones más fundamentales de la teoría de números, dos matemáticos recurrieron a una fuente inesperada.
Un nuevo avance en la comprensión de los números primos ha sido logrado por matemáticos, quienes han presentado una prueba que se centra en el orden oculto de estos “átomos de la aritmética”. Los números primos, que solo son divisibles por sí mismos y por uno, son la piedra angular de las matemáticas, pero también su mayor enigma. A primera vista, parecen estar dispersos aleatoriamente en la recta numérica; sin embargo, no son aleatorios, ya que su distribución está completamente determinada y revela patrones fascinantes que las matemáticas han intentado desentrañar durante siglos.
Aunque existen fórmulas que proporcionan una aproximación sobre la ubicación de los primos, los matemáticos han tenido que recurrir a métodos indirectos para estudiarlos. Desde que Euclides demostró en el 300 a.C. que hay infinitos números primos, se han desarrollado teoremas más específicos para ciertos tipos de números primos. A lo largo del tiempo, las restricciones en estos teoremas se han vuelto más estrictas, permitiendo a los matemáticos aprender más sobre la distribución de los números primos. Sin embargo, este tipo de afirmaciones son complicadas de demostrar.
Recientemente, dos matemáticos, Ben Green de la Universidad de Oxford y Mehtaab Sawhney de la Universidad de Columbia, lograron demostrar una afirmación para una categoría particularmente compleja de números primos. Su demostración, publicada en octubre, no solo profundiza la comprensión matemática sobre los primos, sino que también utiliza herramientas de un área muy diferente de las matemáticas, lo que sugiere que estas herramientas pueden ser más útiles de lo que se pensaba inicialmente.
A lo largo de la historia de las matemáticas, los investigadores han explorado conjuntos de primos que son lo suficientemente interesantes y al mismo tiempo manejables. Muchos de estos estudios han permitido importantes avances en la teoría de números. Por ejemplo, Pierre de Fermat conjeturó en 1640 que existen infinitos números primos que pueden ser expresados como la suma de los cuadrados de dos números enteros. Esta conjetura fue probada más tarde por Leonhard Euler, aunque al imponer nuevas restricciones a la pregunta, los matemáticos han encontrado problemas mucho más desafiantes.
En julio, Green y Sawhney se conocieron en una conferencia en Edimburgo. A pesar de que ambos eran matemáticos con experiencias distintas, decidieron colaborar en la conjetura de Friedlander e Iwaniec. Invitar a Sawhney a Oxford resultó ser clave en su progreso, ya que implementaron un enfoque innovador para resolver el problema, eludiendo las dificultades presentadas por la forma estricta que definía su problema.
Aunque no podían contar directamente los primos generados por sumar los cuadrados de otros primos, optaron por relajar un poco la restricción y trabajar con lo que llamaron “primos imprecisos”. Estos son más fáciles de encontrar y permiten una mejor manipulación matemática. Al final, Green y Sawhney demostraron que hay infinitos primos que pueden ser expresados en la forma de p² + 4q², donde p y q son primos. Este descubrimiento es un hito importante en el terreno de los números primos y ha abierto la puerta a nuevas aplicaciones de las normas de Gowers en la teoría de números.
La colaboración entre ambos matemáticos no solo resultó en esta conquista, sino que también destacó el potencial de aplicaciones futuras en otras áreas de la matemática, lo que abre un abanico de oportunidades para explorar problemas no resueltos en la teoría de números.